ضرب دکارتی بین دو مجموعه، عملی است که به وسیله آن تمامی عناصر یک مجموعه با تمامی عناصر مجموعه دیگر در نظر گرفته می‌شود. این عمل با استفاده از ترکیب هر عنصر از یک مجموعه با هر عنصر از مجموعه دیگر انجام می‌شود. اگر مجموعه‌های A و B را در نظر بگیریم، ضرب دکارتی آنها با A×B نشان داده می‌شود و مجموعه‌ای از تمامی جفت‌های مرتب (a, b) است که a از مجموعه A و b از مجموعه B است.
مثالی برای ضرب دکارتی بین دو مجموعه
فرض کنید مجموعه A شامل اعداد {2، 1} و مجموعه B شامل اعداد {a، b} باشد. حالا ضرب دکارتی این دو مجموعه را به دست آورده و جفت‌های مرتب (a, b) را تشکیل می‌دهیم. بنابراین، ضرب دکارتی بین این دو مجموعه به شکل زیر است:
A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
به عبارت دیگر، تمامی جفت‌های مرتبی که می‌توان از یک عضو از مجموعه A با یک عضو از مجموعه B ترکیب کرد را در این مجموعه می‌بینیم.
ضرب دکارتی بین دو مجموعه چه کاربردی دارد؟
ضرب دکارتی بین دو مجموعه در ریاضیات و علوم کاربردی یک کاربرد گسترده دارد. برخی از کاربردهای ضرب دکارتی عبارتند از:
مختصات نقطه: در هندسه، ضرب دکارتی بین دو بردار مختصاتی به ما اجازه می‌دهد تا مختصات نقطه‌ها را در فضا مختصات تعیین کنیم.
تحلیل و توصیف داده‌ها: در علوم داده، می‌توان از ضرب دکارتی برای ترکیب داده‌ها و انجام عملیات مختلف مانند جمع، ضرب و مقایسه استفاده کرد.
محاسبات ماتریسی: در ریاضیات ماتریسی، ضرب دکارتی بین دو ماتریس به ما کمک می‌کند تا ماتریس جدیدی ایجاد کنیم که ممکن است در مسائل مختلفی مانند تبدیل‌های خطی و حل سیستم‌های معادلات خطی مورد استفاده قرار گیرد.
مسائل ترکیبیاتی: ضرب دکارتی در مسائل ترکیبیاتی مانند تعداد حالات مختلف ترتیب‌بندی‌ها و انتخاب‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد.
مسائل فیزیکی: در بسیاری از مسائل فیزیکی مانند مکانیک و الکترومغناطیس، ضرب دکارتی برای مدل‌سازی و توصیف رویدادها و وضعیت‌های مختلف استفاده می‌شود.
