آشنایی با دنباله حسابی و ضابطه بازگشتی

دنباله حسابی یک دنباله عددی است که هر جمله آن با جمع یک عدد ثابت به جمله قبلی آن حاصل می‌شود. برای مثال، اگر عدد اول دنباله را با a1 و عدد ثابت یا اختلاف مشترک را با d نشان دهیم، آنگاه جمله‌های دنباله به صورت a1، a1+d، a1+2d، a1+3d و … خواهند بود. برای مثال، فرض کنید که دنباله حسابی با a1=3 و d=4 داریم. در این صورت جمله‌های این دنباله به صورت 3، 7، 11، 15، 19 و … خواهند بود.

منظور از ضابطه بازگشتی دنباله حسابی با جمله اول a1 و اختلاف مشترک d چیست؟

ضابطه‌ی بازگشتی یک دنباله حسابی، رابطه‌ای است که با استفاده از آن می‌توان جمله‌های دنباله را به صورت بازگشتی محاسبه کرد. برای یافتن ضابطه‌ی بازگشتی دنباله حسابی با جمله اول a1 و اختلاف مشترک d، می‌توانیم از رابطه‌ی زیر استفاده کنیم:

an = a1 + (n-1)d

در این رابطه، an نشان‌دهنده‌ی جمله‌ی nام دنباله است، a1 نشان‌دهنده‌ی جمله‌ی اول دنباله و d نشان‌دهنده‌ی اختلاف مشترک است. این رابطه به ما اجازه می‌دهد تا جمله‌های دنباله را به صورت بازگشتی محاسبه کنیم. به عنوان مثال، اگر دنباله‌ای با جمله اول a1=3 و اختلاف مشترک d=4 داشته باشیم، ضابطه‌ی بازگشتی این دنباله به صورت زیر خواهد بود:

an = 3 + (n-1)4

از این ضابطه می‌توان برای محاسبه‌ی هر جمله‌ی دلخواه از دنباله استفاده کرد.

مثبت یا منفی یا صفر بودن d یا همان اختلاف مشترک، چه تأثیری در جملات دنباله حسابی دارد؟

اختلاف مشترک یا d در یک دنباله حسابی تأثیر زیادی بر جملات دنباله دارد. اگر اختلاف مشترک مثبت باشد، دنباله به سمت اعداد بزرگتر حرکت می‌کند. به عبارت دیگر، هر جمله بعدی از جمله قبلی بیشتر خواهد بود. اگر اختلاف مشترک منفی باشد، دنباله به سمت اعداد کوچکتر حرکت می‌کند و هر جمله بعدی از جمله قبلی کمتر خواهد بود. اگر اختلاف مشترک صفر باشد، دنباله ثابت خواهد بود و همه جملات برابر خواهند بود. بنابراین، اختلاف مشترک یک دنباله حسابی می‌تواند به ما نشان دهد که دنباله به سمت کدام سمت اعداد حرکت می‌کند، به سمت اعداد بزرگتر یا کوچکتر یا ثابت می‌شود.